Semejanza y Proporcionalidad de Triángulos

SEMEJANZA DE TRIANGULOS 

En matemáticas se dice que dos figuras geométricas son semejantes si tienen la misma forma sin importar los tamaños entre ellos.

Por ejemplo, todos los círculos son semejantes entre sí, todos los cuadrados son semejantes entre sí y todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí. 

 

Si dos ángulos de un triángulo tienen medidas iguales a las medidas de dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes. Los lados correspondientes de polígonos semejantes están en proporción, y los ángulos correspondientes de polígonos semejantes tienen la misma medida.

CARACTERISTICAS 

• Todos los triángulos equiláteros son semejantes.
• Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales.
• En la semejanza se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura, pero no se altera su  forma.
• Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma.
• En el caso del triángulo, la forma solo depende de sus ángulos.

PROPIEDADES

• Propiedad reflexiva, refleja o idéntica

Todo triángulo es semejante a sí mismo.

• Propiedad idéntica o simétrica

Si un triángulo es semejante a otro, aquel es semejante al primero.

• Propiedad transitiva

Si un triángulo es semejante a otro, y este a su vez es semejante a un tercero, el primero es semejante al tercero.

         

 CRITERIOS

• Ángulos iguales.

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

• Lados proporcionales.

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

•  Ángulos entre lados.

 Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y los ángulos comprendidos entre ellos son iguales.

Semejanza de triángulos rectángulos 

•  Ángulo.

     Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo (distinto al ángulo recto) igual.

•  Catetos proporcionales.

   Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.

• Hipotenusa y cateto.

 Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto.  

Ejercicios de triángulos semejantes 

Determinar los siguientes triángulos son semejantes:

Ejercicio 1:

Para este ejemplo, analizaremos si los lados son proporcionales, para esto podemos proceder de varias maneras, sin embargo, lo que nosotros haremos es reducir la proporción de cada lado a su mínima expresión y ver si éstas coinciden, en caso de ser así, habremos encontrado el razón de proporción . Para ello, notemos 

y por último

Así, tenemos que

Podemos concluir que los triángulos son semejantes porque tienen los lados proporcionales.

Ejercicio 2:

Recordemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es igual a . Dicho esto, entonces tendríamos que

Ahora, notemos que  y . Por lo tanto son semejantes porque tienen dos ángulos iguales.

Ejercicio 3:

Veremos si los dos lados dados en cada triángulo son proporcionales y si el ángulo entre estos son iguales. Primero, es claro que los ángulos .

Por lo tanto, tenemos que

Así, los triángulos son semejantes porque tienen dos lados proporcionales y los ángulos comprendidos entre ellos iguales.

PROPORCIONALIDAD        

Dos figuras tienen lados proporcionales si las relaciones de medidas entre las partes de una se corresponden con la relación de medidas de las partes de la otra. 

Por ejemplo 

La igualdad entre dos razones geométricas se representa por a/b = c/d, y se lee : a es a b como c es a d.

La proporcionalidad es una relación o razón constante entre diferentes magnitudes que se vayan a medir.

PARTES QUE CONFORMAN LA PROPORCIONALIDAD 

•  Teorema de la proporcionalidad del triángulo: Si una línea paralela a un lado de un triángulo se cruza con los otros dos lados, entonces divide esos lados proporcionalmente.

Ejemplo:

Encuentre el valor de x 

Las rectas QR Y TS son paralelas.

Por lo tanto, por el teorema de la proporcionalidad del triángulo,

PS  = PT

QS     RT

6 = 9 

2    x

3x = 9

x = 9

      3

x = 3

Ejemplo

Ejercicio 

Encontrar el valor de BC

Solución

BC = ED

BA     EA

BC = 10

12      15

BC = 10 (12)

          15

BC = 8

SEGMENTOS PROPORCIONALES DE RECTAS PARALELAS

Dibujamos varias rectas paralelas: a, b y c.

Las cortamos por dos rectas secantes, r y s, que forman segmentos en ambos lados.

Los segmentos que originan las rectas r y s son proporcionales entre sí.    

EJEMPLO

AB es a BC              

FG es a GH

AB = FG

CB    GH

EJERCICIO

Encontrar el valor del segmento GH

AB=2cm

BC=4cm

FG=2.5cm

GH=?

Solución

GH = AB

FG     BC

GH = 2

2.5     4

GH = 2 (2.5)

          4

GH =1.25cm

YouTube: Semejanza y proporcionalidad de triángulos